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\title[单摆与常微分方程]{单摆模型：建模、求解与相图分析}
\author{《常微分方程》课程}
%\date{2025年10月13日}

\begin{document}

\frame{\titlepage}

\begin{frame}{教学目标}
\begin{itemize}
    \item 从物理原理导出单摆的非线性微分方程；
    \item 掌握小角度近似下的线性化解法；
    \item 理解能量守恒与一阶系统的关系；
    \item 能绘制并解释单摆的相图（幅角–角速度平面）；
    \item 认识非线性系统与线性系统的本质区别。
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{1. 单摆微分方程的导出}
\begin{block}{物理模型}
    \begin{itemize}
        \item 质量为 $m$ 的质点，悬于长 $l$ 的无质量刚性杆；
        \item 摆角 $\theta(t)$：从竖直向下为零，逆时针为正；
        \item 重力切向分力：$-mg\sin\theta$；
        \item 切向加速度：$l\ddot{\theta}$。
    \end{itemize}
\end{block}

\vspace{0.3cm}
由牛顿第二定律：
\[
m l \ddot{\theta} = -mg \sin\theta
\]

整理得：
\[
\boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0}
\]

令 $\omega_0 = \sqrt{g/l}$，则：
\[
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0
\]
\begin{center}
\footnotesize 这是一个二阶非线性常微分方程。
\end{center}
\end{frame}

\begin{frame}{2. 微分方程的求解}

\begin{block}{(1) 小角度近似（线性化）}
当 $|\theta| \ll 1$（弧度），$\sin\theta \approx \theta$，方程变为：
\[
\ddot{\theta} + \omega_0^2 \theta = 0
\]

通解：
\[
\theta(t) = A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)
= \theta_0 \cos(\omega_0 t + \phi)
\]

\begin{itemize}
    \item 周期 $T = 2\pi / \omega_0 = 2\pi \sqrt{l/g}$
    \item \textbf{周期与振幅无关！}
\end{itemize}
\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}{2. 微分方程的求解}

\begin{block}{(2) 非线性情形（能量守恒）}
乘以 $\dot{\theta}$ 并积分，或由机械能守恒：
\[
\frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + m g l (1 - \cos\theta) = E
\]
整理得：
\[
\dot{\theta}^2 = \frac{2g}{l} (\cos\theta - \cos\theta_{\max})
\]
\begin{itemize}
    \item 无法用初等函数显式解出 $\theta(t)$；
    \item 周期 \textbf{依赖于振幅}（振幅越大，周期越长）。
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{3. 相图分析：幅角–角速度平面}

\begin{block}{化为一阶系统}
令 $x = \theta$, $y = \dot{\theta}$，则：
\[
\begin{cases}
\dot{x} = y \\
\dot{y} = -\omega_0^2 \sin x
\end{cases}
\]
\end{block}

\begin{block}{平衡点}
令 $\dot{x} = 0, \dot{y} = 0$，得：
\[
y = 0,\quad \sin x = 0 \Rightarrow x = k\pi,\ k \in \mathbb{Z}
\]
\begin{itemize}
    \item $k$ 偶（如 $x=0$）：\textbf{中心}（稳定，最低点）；
    \item $k$ 奇（如 $x=\pi$）：\textbf{鞍点}（不稳定，倒立）。
\end{itemize}
\end{block}
\end{frame}

\begin{frame}{相图与物理意义}
由能量守恒，首次积分为：
\[
H(x, y) = \frac{1}{2} y^2 - \omega_0^2 \cos x = \text{const}
\]

\begin{columns}[T]
\column{0.6\textwidth}
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
\draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[right] {$\theta$};
\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$\dot{\theta}$};
\draw[dashed] (-3.14, -3) -- (-3.14, 3);
\draw[dashed] (3.14, -3) -- (3.14, 3);
\node at (-3.14,0) [below] {$-\pi$};
\node at (0,0) [below] {$0$};
\node at (3.14,0) [below] {$\pi$};

% closed orbits (oscillation)
\draw[thick] (0,0) ellipse (1.5 and 1);
\draw[thick] (0,0) ellipse (2.2 and 1.6);

% homoclinic orbit
\draw[thick, smooth, domain=-2.8:2.8, samples=100] plot (\x, {2.5*sqrt(1 - cos(\x r))});
\draw[thick, smooth, domain=-2.8:2.8, samples=100] plot (\x, {-2.5*sqrt(1 - cos(\x r))});

% rotation orbits
\draw[thick, ->] (3.5,2.2) .. controls (2,2.5) and (-2,2.5) .. (-3.5,2.2);
\draw[thick, ->] (-3.5,-2.2) .. controls (-2,-2.5) and (2,-2.5) .. (3.5,-2.2);

% equilibrium points
\fill (0,0) circle (2pt) node[below right] {中心};
\fill (3.14,0) circle (2pt) node[below right] {鞍点};
\fill (-3.14,0) circle (2pt);
\end{tikzpicture}
\end{figure}

\column{0.4\textwidth}
\begin{itemize}
    \item \textbf{闭合轨道}：\\摆动（oscillation）
    \item \textbf{同宿轨道}：\\临界（刚好到顶端）
    \item \textbf{开放轨道}：\\旋转（rotation）
\end{itemize}
\end{columns}
\end{frame}

\begin{frame}{线性 vs 非线性：关键区别}

\begin{columns}[T]
\column{0.5\textwidth}
\centering
\textbf{线性系统} \\
($\sin\theta \approx \theta$)
\begin{itemize}
    \item 所有轨迹为闭合椭圆；
    \item 仅有摆动；
    \item 周期恒定。
\end{itemize}

\column{0.5\textwidth}
\centering
\textbf{非线性系统} \\
($\sin\theta$ 保留)
\begin{itemize}
    \item 存在摆动、旋转、临界轨道；
    \item 周期依赖振幅；
    \item 全局结构丰富。
\end{itemize}
\end{columns}

\vspace{0.5cm}
\begin{alertblock}{核心思想}
相图揭示了系统的 \textbf{全局动力学行为}，无需显式求解 $\theta(t)$！
\end{alertblock}
\end{frame}

\begin{frame}{总结与拓展}
\begin{block}{本课要点}
\begin{itemize}
    \item 单摆 $\rightarrow$ 非线性 ODE：$\ddot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0$；
    \item 小角度 $\rightarrow$ 简谐振动；
    \item 能量守恒 $\rightarrow$ 一阶系统 $\rightarrow$ 相图；
    \item 相图分类：摆动、旋转、临界。
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{拓展思考}
\begin{itemize}
    \item 加入阻尼：$\ddot{\theta} + \gamma \dot{\theta} + \omega_0^2 \sin\theta = 0$？
    \item 加入周期驱动力：可能出现 \textbf{混沌}！
\end{itemize}
\end{block}

\begin{block}{课后作业（选做）}
\begin{enumerate}
    \item 推导小角度下单摆周期公式；
    \item 用 Python/MATLAB 绘制相图；
    \item 分析阻尼单摆的相图变化。
\end{enumerate}
\end{block}
\end{frame}

\end{document}